奇迹之流WonderfloW

Nothing Replaces Hard Work!

USACO a GAME 和 ZOJ1463 Brackets Sequence

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今天正好做了两道DP题,所以一起贴了出来,本身这两道题的关联度不大。

USACO上这题是个博弈,两个人,轮流取数,规则是只能取一个队列两端的数,然后先手和后手都要使用最优策略,使得最后得到的数之和最大。 问先手和后手最后各得多少分。

一开始怎么也想不出来。后来跟方易凡讨论了一下,发现了他常用的一种思考问题的方式。就是先考虑小的情况。 如果队列中只有一个数字的话,显然,先取的人拿走,后手为0. 有两个数字的话,先手拿较大的那个,后手拿较小的那个。 此时,规模扩大到三个。这下怎么办呢? 其实按照正常的思维方式,就是左右都试试,那么,我取了队列左边的数,队列第二个开始,一直到最右边的数留到了第二轮,在第二轮中,原来的先手变成了后手。也就是说,我当前取得的数值最优策略,其实是我这次取到的数和下次作为后手的最优策略取到的数之和。然后在所有情况中取较大的值。 这个时候,最优子问题也就出来了。

可见,在思考问题的时候,尤其是DP这种,本身的思路就是把大规模的问题转换成子问题的算法上,就要尽可能从小数据上面去思考、去找规律。

第二题是一个经典的括号匹配的DP。 这个题在浙大上是有trick的,就是不能用scanf,只能用gets读入一行,具体为什么,我也很费解。 说下解法。 就是设置一个dp[i][j]数组,表示字符串i到j之间匹配完成时,最少要添加的括号数。 然后开始的时候,dp[i][i]显然是1,当i>j的时候,dp[i][j]显然是0。从一个点向两边扩散开去。 如果str[i]==str[j],dp[i][j] = max(dp[i][k]+dp[k+1][j],dp[i+1][j-1]) 否则的话,dp[i][j] = max(dp[i][k]+dp[k+1][j]) O(N3)的复杂度,N<=100,所以可以解决。

然后考虑输出的问题,在POJ上也有一道几乎一样的题目,那个题,我用STL里的string ans[i][j] 直接在每个结点把答案算了一遍,最后直接输出就行了。但是这个方法在zoj上是行不通的,因为会出现segmentation fault。 然后就要递归找答案了。这个时候我们用一个 int ans[i][j]来记录答案,如果在i和j正好匹配的时候,dp值是最优的,那么ans[i][j]=-1 否则我们就让ans[i][j] = k。k就是上面那个让我们得到最优解的枚举值。在输出的时候递归一下,就可以解决了,还算是一目了然的。

PS:好久没这么耐心的写解题报告了啊,哈哈~

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//USACO A GAME
/*
ID:bobo
PROG:game1
LANG:C++
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<memory.h>
using namespace std;
int rec[120];
int n;
int dp[120][120][2];
int dfs(int a,int b,bool f)
{
  if(dp[a][b][1]!=-1&&!f)return dp[a][b][1];
  if(dp[a][b][0]!=-1&&f)return dp[a][b][0];
  int t1 = dfs(a,b-1,0)+rec[b];
  int t2 = dfs(a+1,b,0)+rec[a];
  if(t1>t2)
  {
      dp[a][b][0] = t1;
      dp[a][b][1] = dfs(a,b-1,1);
  }
  else
  {
      dp[a][b][0] = t2;
      dp[a][b][1] = dfs(a+1,b,1);
  }
  if(f)return dp[a][b][0];
  return dp[a][b][1];
}
int main()
{
//    freopen("game1.in","r",stdin);
//    freopen("game1.out","w",stdout);
  while(scanf("%d",&n)!=EOF)
  {
      for(int i=1;i<=n;i++)
          scanf("%d",&rec[i]);
      memset(dp,-1,sizeof(dp));
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          dp[i][i][0] = rec[i];
          dp[i][i][1] = 0;
      }
      dfs(1,n,1);
      printf("%d %d\n",dp[1][n][0],dp[1][n][1]);

  }

}
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//ZOJ Brackets Sequence
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define INF (1<<30)
int dp[110][110];
int ans[110][110];
char str[110];
void print(int a,int b)
{
  if(a>b)return;
  if(a==b)
  {
      if(str[a]=='('||str[a]==')')
          printf("()");
      else printf("[]");
      return;
  }
  if(ans[a][b]==-1)
  {
      if(str[a]=='('||str[a]==')')
      {
          printf("(");
          print(a+1,b-1);
          printf(")");
      }
      else
      {
          printf("[");
          print(a+1,b-1);
          printf("]");
      }
  }
  else
  {
      print(a,ans[a][b]);
      print(ans[a][b]+1,b);
  }
}
int main()
{
  int n;
  scanf("%d",&n);
  gets(str);
  for(int icase=0;icase<n;icase++)
  {
      if(icase)
          printf("\n");
      gets(str);
      gets(str);
      int len = strlen(str);
      memset(dp,0,sizeof(dp));
      for(int i=0;i<len;i++)
      {
          dp[i][i] = 1;
          ans[i][i] = -1;
          for(int j=i+1;j<len;j++)
          {
              dp[i][j] = INF;
          }
      }
      for(int i=len-1;i>=0;i--)
      {
          for(int j=i+1;j<len;j++)
          {
              if(str[i]=='('&&str[j]==')'&&dp[i][j]>dp[i+1][j-1])
              {
                  dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                  ans[i][j] = -1; 
              }
              if(str[i]=='['&&str[j]==']'&&dp[i][j]>dp[i+1][j-1])
              {
                  dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                  ans[i][j] = -1;
              }
              for(int k=i;k<j;k++)
              {
                  if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j])
                  {
                      dp[i][j] = dp[i][k]+dp[k+1][j];
                      ans[i][j] = k;
                  }
              }
          }
      }
      print(0,len-1);
      printf("\n");

  }


  return 0;
}